数学与拓扑Atiyah–Jones conjecture在数学中，阿蒂亚-琼斯猜想是关于瞬子模空间同调性的猜想。该猜想的原始形式考虑了 4 维球面上的瞬子。它由 Michael Francis Atiyah 和 John D. S. Jones (1978) 提出，并由 Charles P. Boyer、Jacques C. Hurtubise 和 Benjamin M. Mann 等人证明。 （1992、1993）。阿蒂亚-琼斯猜想的更一般版本是关于任何 4 维实流形或复表面上瞬子模空间的同源性问题。阿蒂亚-琼斯猜想已由 R. J. Milgram 和 J. Hurtubise 证明了直纹曲面，并由 Elizabeth Gasparim 证明了有理曲面。对于其他类型的 4 流形，该猜想尚未得到证实。
In mathematics, the Atiyah–Jones conjecture is a conjecture about the homology of the moduli spaces of instantons. The original form of the conjecture considered instantons over a 4-dimensional sphere. It was introduced by Michael Francis Atiyah and John D. S. Jones (1978) and proved by Charles P. Boyer, Jacques C. Hurtubise, and Benjamin M. Mann et al. (1992, 1993). The more general version of the Atiyah–Jones conjecture is a question about the homology of the moduli spaces of instantons on any 4-dimensional real manifold, or on a complex surface. The Atiyah–Jones conjecture has been proved for ruled surfaces by R. J. Milgram and J. Hurtubise, and for rational surfaces by Elizabeth Gasparim. The conjecture remains unproved for other types of 4 manifolds.
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查看内容许可 ↗在几何拓扑中，两个 n 维结 K1 和 K2 沿称为带的 (n + 1) 维 1 维柄 h 的带和是 n 维结 K，使得： 有一个 (n + 1) 维 1 柄 h 连接到嵌入 Sn+2 中的 (K1, K2)。
In geometric topology, a band sum of two n-dimensional knots K1 and K2 along an (n + 1)-dimensional 1-handle h called a band is an n-dimensional knot K such that: There is an (n + 1)-dimensional 1-handle h connected to (K1, K2) embedded in Sn+2.
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查看内容许可 ↗在数学中，Bing-Borsuk 猜想指出，每个 n {\displaystyle n} 维齐次绝对邻域收缩空间都是一个拓扑流形。该猜想已在 1 维和 2 维上得到证明，并且已知该猜想的 3 维版本隐含着庞加莱猜想。
In mathematics, the Bing–Borsuk conjecture states that every n {\displaystyle n} -dimensional homogeneous absolute neighborhood retract space is a topological manifold. The conjecture has been proved for dimensions 1 and 2, and it is known that the 3-dimensional version of the conjecture implies the Poincaré conjecture.
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查看内容许可 ↗在数学中，位拓扑空间是具有两种拓扑的集合。通常，如果集合为 X {\displaystyle X} 且拓扑为 σ {\displaystyle \sigma } 和 τ {\displaystyle \tau } ，则位拓扑空间称为 ( X , σ , τ ) {\displaystyle (X,\sigma ,\tau )} 。这个概念是由 J. C. Kelly 在准测量学研究中引入的，即不需要对称的距离函数。
In mathematics, a bitopological space is a set endowed with two topologies. Typically, if the set is X {\displaystyle X} and the topologies are σ {\displaystyle \sigma } and τ {\displaystyle \tau } then the bitopological space is referred to as ( X , σ , τ ) {\displaystyle (X,\sigma ,\tau )} . The notion was introduced by J. C. Kelly in the study of quasimetrics, i.e. distance functions that are not required to be symmetric.
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查看内容许可 ↗在数学的一个分支泛函分析中，向量空间子集的边界点是集合边界的概念扩展。
In functional analysis, a branch of mathematics, a bounding point of a subset of a vector space is a conceptual extension of the boundary of a set.
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查看内容许可 ↗在代数拓扑中，谱 X 的 Bousfield 类是所有谱 Y 的集合，其与 X 的粉碎积为零： X ⊗ Y = 0 {\displaystyle X\otimes Y=0} 。如果两个对象的 Bousfield 类相同，则它们是 Bousfield 等价的。这一概念适用于模块谱，在这种情况下，通常限定一个环形谱，在该环形谱上获取粉碎产物。
In algebraic topology, the Bousfield class of, say, a spectrum X is the set of all (say) spectra Y whose smash product with X is zero: X ⊗ Y = 0 {\displaystyle X\otimes Y=0} . Two objects are Bousfield equivalent if their Bousfield classes are the same. The notion applies to module spectra and in that case one usually qualifies a ring spectrum over which the smash product is taken.
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查看内容许可 ↗在数学中，Busemann G 空间是一种度量空间，由 Herbert Busemann 于 1942 年首次描述。
In mathematics, a Busemann G-space is a type of metric space first described by Herbert Busemann in 1942.
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查看内容许可 ↗在数学中，拓扑空间 X 的口径或口径是基数 κ，使得对于 X 的每组 κ 非空开子集，这些子集的 κ 中包含 X 的某个点。这个概念是由 Shanin (1948) 提出的。偏序集也有类似的概念。偏序集 P 的预口径是基数 κ，使得对于由 κ 索引的 P 的任何元素集合，都存在一个居中的基数 κ 的子集合。这里，如果对于任何有限子集，偏序集的一个元素小于或等于所有元素，则偏序集的子集称为中心子集。
In mathematics, the caliber or calibre of a topological space X is a cardinal κ such that for every set of κ nonempty open subsets of X there is some point of X contained in κ of these subsets. This concept was introduced by Shanin (1948). There is a similar concept for posets. A pre-caliber of a poset P is a cardinal κ such that for any collection of elements of P indexed by κ, there is a subcollection of cardinality κ that is centered. Here a subset of a poset is called centered if for any finite subset there is an element of the poset less than or equal to all of them.
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查看内容许可 ↗在数学中，范畴拓扑是通过范畴论中的概念和方法来研究拓扑（空间理论）的方法，范畴论是处理抽象概念的数学分支。更详细地描述：为了处理拓扑性质的问题，过去已经进行了各种尝试来引入合适的概念，例如拓扑空间、均匀空间、邻近空间、极限空间、均匀收敛空间等。由于这种情况并不令人满意，因此需要新的方法来统一所有这些理论。因此，一门新学科——称为分类拓扑学——诞生了（大约 1971 年）。它涉及拓扑类别及其相互关系的研究。
In mathematics, categorical topology is an approach to topology (theory of spaces) through the concepts and methods in category theory, a branch of mathematics dealing with abstract concepts. In a more detailed description: In order to handle problems of a topological nature, various attempts have been made in the past to introduce suitable concepts, e.g. topological spaces, uniform spaces, proximity spaces, limit spaces, uniform convergence spaces etc. Since this situation was unsatisfactory, new methods were needed to unify all these theories. Thus a new discipline - called Categorical Topology - was created (about 1971). It deals with the investigation of topological categories and their relationships to each other.
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查看内容许可 ↗在数学中，柯西连续函数或柯西正则函数是度量空间（或更一般的空间）之间的一种特殊连续函数。柯西连续函数具有一个有用的属性，即它们始终可以（唯一）扩展到其定义域的柯西补全。
In mathematics, a Cauchy-continuous, or Cauchy-regular, function is a special kind of continuous function between metric spaces (or more general spaces). Cauchy-continuous functions have the useful property that they can always be (uniquely) extended to the Cauchy completion of their domain.
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查看内容许可 ↗在几何学中，如果一个图形与其镜像不同，或者更准确地说，如果它不能仅通过旋转和平移映射到其镜像，则该图形是手性的（并且被称为具有手性）。非手性的物体被称为非手性的。手性物体及其镜像被称为对映体。手性一词源自希腊语 χείρ（cheir），手，最熟悉的手性物体； enantiomorph一词源自希腊语ἐναντίος (enantios)“相反”+μορφή(morphe)“形式”。
In geometry, a figure is chiral (and said to have chirality) if it is not identical to its mirror image, or, more precisely, if it cannot be mapped to its mirror image by rotations and translations alone. An object that is not chiral is said to be achiral. A chiral object and its mirror image are said to be enantiomorphs. The word chirality is derived from the Greek χείρ (cheir), the hand, the most familiar chiral object; the word enantiomorph stems from the Greek ἐναντίος (enantios) 'opposite' + μορφή (morphe) 'form'.
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查看内容许可 ↗在数学中，更准确地说在代数中，可解群（不太常见：可解群）是同构于可解群逆系统的逆极限的群。等价地，如果将一个群视为拓扑群，恒等的每个开邻域都包含一个正规子群，其对应的商群是可解群，则该群称为可解群。
In mathematics, more precisely in algebra, a prosolvable group (less common: prosoluble group) is a group that is isomorphic to the inverse limit of an inverse system of solvable groups. Equivalently, a group is called prosolvable, if, viewed as a topological group, every open neighborhood of the identity contains a normal subgroup whose corresponding quotient group is a solvable group.
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查看内容许可 ↗在代数拓扑中，两个拓扑空间之间的连续函数 f {\displaystyle f} : X → Y {\displaystyle X\rightarrow Y} 的前推是 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 。
In algebraic topology, the pushforward of a continuous function f {\displaystyle f} : X → Y {\displaystyle X\rightarrow Y} between two topological spaces is a homomorphism f ∗ : H n ( X ) → H n ( Y ) {\displaystyle f_{*}:H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)} between the homology groups for n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} .
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查看内容许可 ↗在数学中，尤其是在拓扑学中，Pytkeev 空间是一种拓扑空间，它满足比序列收敛更微妙的性质。它们以 E. G. Pytkeev 的名字命名，他于 1983 年证明了连续空间具有此属性。
In mathematics, and especially topology, a Pytkeev space is a topological space that satisfies qualities more subtle than a convergence of a sequence. They are named after E. G. Pytkeev, who proved in 1983 that sequential spaces have this property.
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查看内容许可 ↗在数学的一个分支拓扑学中，拟开映射（也称为拟内映射）是泛化开映射概念的函数。
In topology, a branch of mathematics, a quasi-open map (also called quasi-interior map) is a function that generalizes the notion of open map.
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查看内容许可 ↗在数学中，集合 X 上的拟拓扑是一个函数，它将满足某些自然条件的从 C 到 X 的映射集合与每个紧豪斯多夫空间 C 相关联。具有拟拓扑的集合称为拟拓扑空间。它们是由 Spanier 提出的，他证明了从一个空间到另一个空间的连续映射的空间上存在一种自然的准拓扑。
In mathematics, a quasi-topology on a set X is a function that associates to every compact Hausdorff space C a collection of mappings from C to X satisfying certain natural conditions. A set with a quasi-topology is called a quasitopological space. They were introduced by Spanier, who showed that there is a natural quasi-topology on the space of continuous maps from one space to another.
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查看内容许可 ↗令 X 为 Rn 的子集。那么 X 的可达范围定义为reach(X):=sup{rεR:∀xεRn∖X，其中d i s t(x,X)<r存在唯一的最近点yεX，使得d i s t(x,y)=d i s t(x,X)}。
Let X be a subset of Rn. Then the reach of X is defined as reach ( X ) := sup { r ∈ R : ∀ x ∈ R n ∖ X with d i s t ( x , X ) < r exists a unique closest point y ∈ X such that d i s t ( x , y ) = d i s t ( x , X ) } .
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查看内容许可 ↗在数学中，集合的相对内部是内部概念的细化，在处理放置在高维空间中的低维集合时，它通常更有用。形式上，集合 S {\displaystyle S} （表示为 relint ( S ) {\displaystyle \operatorname {relint} (S)} ）的相对内部被定义为其在 S 的仿射壳内的内部。
In mathematics, the relative interior of a set is a refinement of the concept of the interior, which is often more useful when dealing with low-dimensional sets placed in higher-dimensional spaces. Formally, the relative interior of a set S {\displaystyle S} (denoted relint ( S ) {\displaystyle \operatorname {relint} (S)} ) is defined as its interior within the affine hull of S .
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查看内容许可 ↗在拓扑中，回缩是从拓扑空间到子空间的连续映射，保留该子空间中所有点的位置。该子空间称为原始空间的缩回。变形收缩是一种映射，它体现了将空间不断收缩为子空间的想法。绝对邻域收缩（ANR）是一种表现特别良好的拓扑空间类型。例如，每个拓扑流形都是一个 ANR。每个 ANR 都有一个非常简单的拓扑空间（CW 复形）的同伦类型。
In topology, a retraction is a continuous mapping from a topological space into a subspace that preserves the position of all points in that subspace. The subspace is then called a retract of the original space. A deformation retraction is a mapping that captures the idea of continuously shrinking a space into a subspace. An absolute neighborhood retract (ANR) is a particularly well-behaved type of topological space. For example, every topological manifold is an ANR. Every ANR has the homotopy type of a very simple topological space, a CW complex.
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查看内容许可 ↗在数学中，特别是微分拓扑中，二次矢量丛结构是指由原始投影图 p : E → M 的前推 p* : TE → TM 诱导的平滑矢量丛 (E, p, M) 的切丛总空间 TE 上的自然矢量丛结构 (TE, p*, TM)。这产生了双矢量丛结构 (TE,E,TM,M)。在特殊情况 (E, p, M) = (TM, πTM, M) 中，其中 TE = TTM 是双切丛，二次向量丛 (TTM, (πTM)*, TM) 通过规范翻转与 TM 的切丛 (TTM, πTTM, TM) 同构。
In mathematics, particularly differential topology, the secondary vector bundle structure refers to the natural vector bundle structure (TE, p∗, TM) on the total space TE of the tangent bundle of a smooth vector bundle (E, p, M), induced by the push-forward p∗ : TE → TM of the original projection map p : E → M. This gives rise to a double vector bundle structure (TE,E,TM,M). In the special case (E, p, M) = (TM, πTM, M), where TE = TTM is the double tangent bundle, the secondary vector bundle (TTM, (πTM)∗, TM) is isomorphic to the tangent bundle (TTM, πTTM, TM) of TM through the canonical flip.
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查看内容许可 ↗在数学中，选择原则是断言通过从给定的集合序列中选择元素来获得数学上有意义的对象的可能性的规则。选择原理理论研究这些原理及其与其他数学特性的关系。选择原则主要描述拓扑空间尤其是函数空间中的覆盖性质、测度和范畴论性质以及局部性质。通常，使用选择原理来表征数学属性是一项艰巨的任务，可以带来对表征属性的新见解。
In mathematics, a selection principle is a rule asserting the possibility of obtaining mathematically significant objects by selecting elements from given sequences of sets. The theory of selection principles studies these principles and their relations to other mathematical properties. Selection principles mainly describe covering properties, measure- and category-theoretic properties, and local properties in topological spaces, especially function spaces. Often, the characterization of a mathematical property using a selection principle is a nontrivial task leading to new insights on the characterized property.
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查看内容许可 ↗在数学中，集合反转是用函数 f 表征集合 Y 的原像 X 的问题，即 X = f−1(Y ) = {x ∈ Rn | f(x) ∈ Y }。它也可以被视为描述量化约束“Y(f(x))”的解集的问题，其中Y(y)是一个约束，例如一个不等式，描述集合 Y。在大多数应用中，f 是从 Rn 到 Rp 的函数，集合 Y 是 Rp 的一个框（即 R 的 p 个区间的笛卡尔积）。当 f 是非线性时，可以使用区间分析结合分支定界算法来解决集合求逆问题。主要思想在于用不重叠的盒子建造 Rp 铺路。
In mathematics, set inversion is the problem of characterizing the preimage X of a set Y by a function f, i.e., X = f−1(Y ) = {x ∈ Rn | f(x) ∈ Y }. It can also be viewed as the problem of describing the solution set of the quantified constraint "Y(f (x))", where Y(y) is a constraint, e.g. an inequality, describing the set Y. In most applications, f is a function from Rn to Rp and the set Y is a box of Rp (i.e. a Cartesian product of p intervals of R). When f is nonlinear the set inversion problem can be solved using interval analysis combined with a branch-and-bound algorithm. The main idea consists in building a paving of Rp made with non-overlapping boxes.
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查看内容许可 ↗在数学中，单纯复形的脱壳是一种以良好的方式将其从其最大单纯形（不是另一个单纯形的面的单纯形）粘合在一起的方法。允许脱壳的复合体称为可脱壳。
In mathematics, a shelling of a simplicial complex is a way of gluing it together from its maximal simplices (simplices that are not a face of another simplex) in a well-behaved way. A complex admitting a shelling is called shellable.
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查看内容许可 ↗尺寸函数是几何/拓扑意义上的形状描述符。它们是从半平面 x < y {\displaystyle x<y} 到自然数的函数，计算拓扑空间的某些连通分量。它们用于模式识别和拓扑。
Size functions are shape descriptors, in a geometrical/topological sense. They are functions from the half-plane x < y {\displaystyle x<y} to the natural numbers, counting certain connected components of a topological space. They are used in pattern recognition and topology.
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查看内容许可 ↗在数学中，尺寸理论研究赋予 R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} 值函数的拓扑空间的性质，以及这些函数的变化。更正式地说，尺寸理论的主题是研究尺寸对之间的自然伪距离。尺寸理论的调查可以在 中找到。
In mathematics, size theory studies the properties of topological spaces endowed with R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} -valued functions, with respect to the change of these functions. More formally, the subject of size theory is the study of the natural pseudodistance between size pairs. A survey of size theory can be found in .
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查看内容许可 ↗在数学的一个分支拓扑学中，两个尖点空间（即具有不同基点的拓扑空间）(X, x0) 和 (Y, y0) 的粉碎积是乘积空间 X × Y 在标识 (x, y0) ~ (x0, y) 下对于 X 中的所有 x 和 Y 中的 y 的商。粉碎积本身就是一个尖点空间，基点是 (x0, y0) 的等价类。粉碎积通常表示为 X ∧ Y 或 X ⨳ Y。粉碎积取决于基点的选择（除非 X 和 Y 都是齐次的）。我们可以将 X 和 Y 视为位于 X × Y 内部的子空间 X × {y0} 和 {x0} × Y。这些子空间相交于一点：(x0, y0)，即 X × Y 的基点。因此，这些子空间的并集可以用楔形和 X ∨ Y = ( X ⨿ Y ) / ∼ {\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim }} .
In topology, a branch of mathematics, the smash product of two pointed spaces (i.e. topological spaces with distinguished basepoints) (X, x0) and (Y, y0) is the quotient of the product space X × Y under the identifications (x, y0) ~ (x0, y) for all x in X and y in Y. The smash product is itself a pointed space, with basepoint being the equivalence class of (x0, y0). The smash product is usually denoted X ∧ Y or X ⨳ Y. The smash product depends on the choice of basepoints (unless both X and Y are homogeneous). One can think of X and Y as sitting inside X × Y as the subspaces X × {y0} and {x0} × Y. These subspaces intersect at a single point: (x0, y0), the basepoint of X × Y. So the union of these subspaces can be identified with the wedge sum X ∨ Y = ( X ⨿ Y ) / ∼ {\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim }} .
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查看内容许可 ↗谱形状分析依赖于 Laplace–Beltrami 算子的谱（特征值和/或特征函数）来比较和分析几何形状。由于拉普拉斯-贝尔特拉米算子的谱在等距下不变，因此它非常适合非刚性形状的分析或检索，即可弯曲的物体，如人类、动物、植物等。
Spectral shape analysis relies on the spectrum (eigenvalues and/or eigenfunctions) of the Laplace–Beltrami operator to compare and analyze geometric shapes. Since the spectrum of the Laplace–Beltrami operator is invariant under isometries, it is well suited for the analysis or retrieval of non-rigid shapes, i.e. bendable objects such as humans, animals, plants, etc.
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查看内容许可 ↗在数学中，斯佩纳引理是三角剖分着色的组合结果，类似于与之等效的布劳威尔不动点定理。它指出 n {\displaystyle n} 维单纯形的三角剖分的每个 Sperner 着色（如下所述）都包含一个其顶点都具有不同颜色的单元。这种最初的结果是由 Emanuel Sperner 在域不变性证明方面证明的。斯佩纳着色已被用于不动点的有效计算和寻根算法，并应用于公平划分（切蛋糕）算法。根据苏联数学百科全书（I.M. Vinogradov 编辑），一个相关的 1929 年定理（Knaster、Borsuk 和 Mazurkiewicz）也被称为 Sperner 引理——这一点在英文翻译（M. Hazewinkel 编辑）中进行了讨论。
In mathematics, Sperner's lemma is a combinatorial result on colorings of triangulations, analogous to the Brouwer fixed point theorem, which is equivalent to it. It states that every Sperner coloring (described below) of a triangulation of an n {\displaystyle n} -dimensional simplex contains a cell whose vertices all have different colors. The initial result of this kind was proved by Emanuel Sperner, in relation to proofs of invariance of domain. Sperner colorings have been used for effective computation of fixed points and in root-finding algorithms, and are applied in fair division (cake cutting) algorithms. According to the Soviet Mathematical Encyclopaedia (ed. I.M. Vinogradov), a related 1929 theorem (of Knaster, Borsuk and Mazurkiewicz) had also become known as the Sperner lemma – this point is discussed in the English translation (ed. M. Hazewinkel).
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查看内容许可 ↗在数学中，拓扑空间的某些类别和部分有序集的类别之间存在大量的范畴对偶性。今天，这些对偶性通常被收集在 Stone 对偶性标签下，因为它们形成了布尔代数 Stone 表示定理的自然推广。这些概念是以马歇尔·斯通的名字命名的。石头型对偶性还为无意义的拓扑提供了基础，并在理论计算机科学中用于形式语义的研究。本文给出了斯通对偶性的特殊情况，并详细解释了一个非常普遍的例子。
In mathematics, there is an ample supply of categorical dualities between certain categories of topological spaces and categories of partially ordered sets. Today, these dualities are usually collected under the label Stone duality, since they form a natural generalization of Stone's representation theorem for Boolean algebras. These concepts are named in honor of Marshall Stone. Stone-type dualities also provide the foundation for pointless topology and are exploited in theoretical computer science for the study of formal semantics. This article gives pointers to special cases of Stone duality and explains a very general instance thereof in detail.
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查看内容许可 ↗在数学中，特别是在拓扑中，分层空间是一种拓扑空间，它允许或配备有分层、分解为子空间，这在某种意义上是很好的（例如，平滑或平坦）。一个基本的例子是允许惠特尼分层的平滑流形的子集。但也存在抽象的分层空间，例如 Thom-Mather 分层空间。在分层空间上，可构造层可以定义为在每个层上局部恒定的层。在这几个理想中，格洛腾迪克的 Esquisse d’un 计划考虑（或提出）了一个分层空间，他称之为“驯服拓扑”。
In mathematics, especially in topology, a stratified space is a topological space that admits or is equipped with a stratification, a decomposition into subspaces, which are nice in some sense (e.g., smooth or flat). A basic example is a subset of a smooth manifold that admits a Whitney stratification. But there is also an abstract stratified space such as a Thom–Mather stratified space. On a stratified space, a constructible sheaf can be defined as a sheaf that is locally constant on each stratum. Among the several ideals, Grothendieck's Esquisse d’un programme considers (or proposes) a stratified space with what he calls the tame topology.
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