数学与拓扑Matrix Chernoff bound对于线性代数中的某些应用，了解随机矩阵有限和的最大特征值的概率分布的性质是有用的。假设 { X k } {\displaystyle \{\mathbf {X} _{k}\}} 是随机矩阵的有限序列。
For certain applications in linear algebra, it is useful to know properties of the probability distribution of the largest eigenvalue of a finite sum of random matrices. Suppose { X k } {\displaystyle \{\mathbf {X} _{k}\}} is a finite sequence of random matrices.
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查看内容许可 ↗在线性代数中，矩阵铅笔是在域 K {\displaystyle K} 上定义的矩阵值函数，通常是实数或复数。
In linear algebra, a matrix pencil is a matrix-valued function defined on a field K {\displaystyle K} , usually the real or complex numbers.
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查看内容许可 ↗在数学中，矩阵符号函数是方阵上的矩阵函数，类似于复数符号函数。它是由 J.D. Roberts 于 1971 年在剑桥大学的一份技术报告中作为模型简化和求解 Lyapunov 和代数 Riccati 方程的工具提出的，后来于 1980 年在期刊上发表。
In mathematics, the matrix sign function is a matrix function on square matrices analogous to the complex sign function. It was introduced by J.D. Roberts in 1971 as a tool for model reduction and for solving Lyapunov and Algebraic Riccati equation in a technical report of Cambridge University, which was later published in a journal in 1980.
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查看内容许可 ↗在线性代数中，反方阵 A {\displaystyle A} 是另一个方阵 A − 1 {\displaystyle A^{-1}} ，使得乘积 A − 1 A {\displaystyle A^{-1}A} 是单位矩阵。计算逆矩阵的方法有很多种（如果存在的话）。
In linear algebra, the inverse square matrix A {\displaystyle A} is another square matrix A − 1 {\displaystyle A^{-1}} such that the product A − 1 A {\displaystyle A^{-1}A} is the identity matrix. There are many methods for calculating an inverse matrix, if it exists.
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查看内容许可 ↗在数学优化理论中，混合线性互补问题通常缩写为 MLCP 或 LMCP，是线性互补问题包含自由变量的推广。
In mathematical optimization theory, the mixed linear complementarity problem, often abbreviated as MLCP or LMCP, is a generalization of the linear complementarity problem to include free variables.
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查看内容许可 ↗物理学中的模态振型是结构或系统以其固有频率振荡时可以表现出的特定振动模式。这些模式描述了振动过程中系统不同部分的相对位移。在应用数学中，模态振型是特征向量的一种表现，它描述了机械系统或波前中两个或多个元件的相对位移。模态振型是与特定固有频率相关的偏转模式，代表该特定模态的结构所有部分的相对位移。
Mode shapes in physics are specific patterns of vibration that a structure or system can exhibit when it oscillates at its natural frequencies. These patterns describe the relative displacement of different parts of the system during vibration. In applied mathematics, mode shapes are a manifestation of eigenvectors which describe the relative displacement of two or more elements in a mechanical system or wave front. A mode shape is a deflection pattern related to a particular natural frequency and represents the relative displacement of all parts of a structure for that particular mode.
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查看内容许可 ↗Motzkin-Taussky 定理是关于两个有界线性算子（分别是矩阵）之和的表示的算子和矩阵理论的结果。该定理由 Theodore Motzkin 和 Olga Taussky-Todd 证明。该定理用于微扰理论，例如检查 T + x T 1 {\displaystyle T+xT_{1}} 形式的运算符。
The Motzkin–Taussky theorem is a result from operator and matrix theory about the representation of a sum of two bounded, linear operators (resp. matrices). The theorem was proven by Theodore Motzkin and Olga Taussky-Todd. The theorem is used in perturbation theory, where e.g. operators of the form T + x T 1 {\displaystyle T+xT_{1}} are examined.
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查看内容许可 ↗非负矩阵分解（NMF 或 NNMF），也称为非负矩阵近似，是多元分析和线性代数中的一组算法，其中矩阵 V 被分解为（通常）两个矩阵 W 和 H，且所有三个矩阵都没有负元素。这种非负性使得生成的矩阵更容易检查。此外，在处理音频频谱图或肌肉活动等应用中，所考虑的数据具有固有的非负性。由于该问题通常无法精确求解，因此通常采用数值近似方法。 NMF 在天文学、计算机视觉、文档聚类、缺失数据插补、化学计量学、音频信号处理、推荐系统和生物信息学等领域都有应用。
Non-negative matrix factorization (NMF or NNMF), also non-negative matrix approximation is a group of algorithms in multivariate analysis and linear algebra where a matrix V is factorized into (usually) two matrices W and H, with the property that all three matrices have no negative elements. This non-negativity makes the resulting matrices easier to inspect. Also, in applications such as processing of audio spectrograms or muscular activity, non-negativity is inherent to the data being considered. Since the problem is not exactly solvable in general, it is commonly approximated numerically. NMF finds applications in such fields as astronomy, computer vision, document clustering, missing data imputation, chemometrics, audio signal processing, recommender systems, and bioinformatics.
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查看内容许可 ↗在线性代数中，非负矩阵的非负秩是类似于实矩阵的通常线性秩的概念，但增加了向量/矩阵的某些系数和条目必须是非负的要求。例如，矩阵的线性秩是向量的最小数量，使得矩阵的每一列都可以写成这些向量的线性组合。对于非负秩，要求向量必须具有非负项，并且线性组合中的系数是非负的。
In linear algebra, the nonnegative rank of a nonnegative matrix is a concept similar to the usual linear rank of a real matrix, but adding the requirement that certain coefficients and entries of vectors/matrices have to be nonnegative. For example, the linear rank of a matrix is the smallest number of vectors, such that every column of the matrix can be written as a linear combination of those vectors. For the nonnegative rank, it is required that the vectors must have nonnegative entries, and also that the coefficients in the linear combinations are nonnegative.
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查看内容许可 ↗在数学中，特别是在泛函分析中，半范数类似于范数，但不必是正定的。半范数与凸集密切相关：每个半范数都是某个吸收盘的明可夫斯基泛函，相反，任何此类集合的明可夫斯基泛函都是半范数。拓扑向量空间是局部凸的当且仅当它的拓扑是由半范数族导出的。
In mathematics, particularly in functional analysis, a seminorm is like a norm but need not be positive definite. Seminorms are intimately connected with convex sets: every seminorm is the Minkowski functional of some absorbing disk and, conversely, the Minkowski functional of any such set is a seminorm. A topological vector space is locally convex if and only if its topology is induced by a family of seminorms.
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查看内容许可 ↗在数学中，特别是在代数域论中，正规基是有限次伽罗瓦扩展的一种特殊基，其特征在于形成伽罗瓦群的单个轨道。正规基定理指出，任何有限的伽罗瓦域扩展都具有正规基。在代数数论中，对正规积分基存在性的更精细问题的研究是伽罗瓦模理论的一部分。
In mathematics, specifically the algebraic theory of fields, a normal basis is a special kind of basis for Galois extensions of finite degree, characterised as forming a single orbit for the Galois group. The normal basis theorem states that any finite Galois extension of fields has a normal basis. In algebraic number theory, the study of the more refined question of the existence of a normal integral basis is part of Galois module theory.
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查看内容许可 ↗在数学中，给定一个具有相关二次形式 q 的向量空间 X，写为 (X, q)，零向量或各向同性向量是 X 的非零元素 x，其中 q(x) = 0。在实双线性形式的理论中，定二次形式和各向同性二次形式是不同的。它们的区别在于，只有后者才存在非零零向量。具有零向量的二次空间 (X, q) 称为伪欧几里得空间。当 q(v) = 0 时，术语各向同性向量 v 用于二次空间，以及用于没有零向量的二次空间的各向异性空间。伪欧几里得向量空间可以（非唯一）分解为正交子空间 A 和 B，X = A + B，其中 q 在 A 上是正定的，在 B 上是负定的。
In mathematics, given a vector space X with an associated quadratic form q, written (X, q), a null vector or isotropic vector is a non-zero element x of X for which q(x) = 0. In the theory of real bilinear forms, definite quadratic forms and isotropic quadratic forms are distinct. They are distinguished in that only for the latter does there exist a nonzero null vector. A quadratic space (X, q) which has a null vector is called a pseudo-Euclidean space. The term isotropic vector v when q(v) = 0 has been used in quadratic spaces, and anisotropic space for a quadratic space without null vectors. A pseudo-Euclidean vector space may be decomposed (non-uniquely) into orthogonal subspaces A and B, X = A + B, where q is positive-definite on A and negative-definite on B.
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查看内容许可 ↗在压缩感知中，零空间属性为使用 ℓ 1 {\displaystyle \ell _{1}} 松弛技术重建稀疏信号提供了充分必要条件。 “零空间属性”一词源自 Cohen、Dahmen 和 DeVore。零空间属性在实践中通常很难检查，而受限等距属性是压缩感知领域更现代的条件。
In compressed sensing, the nullspace property gives necessary and sufficient conditions on the reconstruction of sparse signals using the techniques of ℓ 1 {\displaystyle \ell _{1}} -relaxation. The term "nullspace property" originates from Cohen, Dahmen, and DeVore. The nullspace property is often difficult to check in practice, and the restricted isometry property is a more modern condition in the field of compressed sensing.
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查看内容许可 ↗在线性代数和凸分析的数学领域中，复数 n × n {\displaystyle n\times n} 矩阵 A 的数值范围或值域或 Wertvorrat 或 Wertvorrat 是集合 W ( A ) = { x ∗ A x x ∗ x...
In the mathematical field of linear algebra and convex analysis, the numerical range or field of values or Wertvorrat or Wertevorrat of a complex n × n {\displaystyle n\times n} matrix A is the set W ( A ) = { x ∗ A x x ∗ x...
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查看内容许可 ↗在数学中，实向量丛的方向是向量空间方向的推广；因此，给定实数向量丛 π: E →B，E 的方向意味着：对于每个纤维 Ex，向量空间 Ex 都有一个方向，并且要求每个平凡化映射（即丛映射） phi U : π − 1 ( U ) → U × R n {\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {R} ^{n}} 是纤维方向方向保持，其中 Rn 为标准方向。更简洁地说，这表示E的框架丛的结构群，即实一般线性群GLn(R)，可以简化为由具有正行列式的子群组成的子群。
In mathematics, an orientation of a real vector bundle is a generalization of an orientation of a vector space; thus, given a real vector bundle π: E →B, an orientation of E means: for each fiber Ex, there is an orientation of the vector space Ex and one demands that each trivialization map (which is a bundle map) ϕ U : π − 1 ( U ) → U × R n {\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {R} ^{n}} is fiberwise orientation-preserving, where Rn is given the standard orientation. In more concise terms, this says that the structure group of the frame bundle of E, which is the real general linear group GLn(R), can be reduced to the subgroup consisting of those with positive determinant.
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查看内容许可 ↗在数学中，特别是线性代数中，内积空间 V {\displaystyle V} 的正交基是向量相互正交的 V {\displaystyle V} 的基。如果正交基的向量被归一化，则所得基是正交基。
In mathematics, particularly linear algebra, an orthogonal basis for an inner product space V {\displaystyle V} is a basis for V {\displaystyle V} whose vectors are mutually orthogonal. If the vectors of an orthogonal basis are normalized, the resulting basis is an orthonormal basis.
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查看内容许可 ↗在线性代数中，普通矩阵（例如对称矩阵）的正交对角化是通过坐标的正交变化进行的对角化。下面是正交对角化算法，通过坐标X = PY的正交变化，对Rn上的二次形式q(x)进行对角化。步骤1：求出表示q的对称矩阵A，并求出其特征多项式Δ(t)。步骤2：求A的特征值，即Δ(t)的根。步骤 3：对于步骤 2 中 A 的每个特征值 λ，找到其特征空间的正交基。步骤4：对步骤3中的所有特征向量进行归一化，然后形成Rn的标准正交基。步骤 5：设 P 为矩阵，其列为步骤 4 中的归一化特征向量。
In linear algebra, an orthogonal diagonalization of a normal matrix (e.g. a symmetric matrix) is a diagonalization by means of an orthogonal change of coordinates. The following is an orthogonal diagonalization algorithm that diagonalizes a quadratic form q(x) on Rn by means of an orthogonal change of coordinates X = PY. Step 1: Find the symmetric matrix A that represents q and find its characteristic polynomial Δ(t). Step 2: Find the eigenvalues of A, which are the roots of Δ(t). Step 3: For each eigenvalue λ of A from step 2, find an orthogonal basis of its eigenspace. Step 4: Normalize all eigenvectors in step 3, which then form an orthonormal basis of Rn. Step 5: Let P be the matrix whose columns are the normalized eigenvectors in step 4.
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查看内容许可 ↗正交普罗克拉斯特问题是线性代数中的矩阵逼近问题。在其经典形式中，给定两个矩阵 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} ，并要求找到一个正交矩阵 Ω {\displaystyle \Omega } ，它最接近地将 A {\displaystyle A} 映射到 B {\displaystyle B} 。
The orthogonal Procrustes problem is a matrix approximation problem in linear algebra. In its classical form, one is given two matrices A {\displaystyle A} and B {\displaystyle B} and asked to find an orthogonal matrix Ω {\displaystyle \Omega } which most closely maps A {\displaystyle A} to B {\displaystyle B} .
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查看内容许可 ↗在数学中，正交性是垂直于双线性形式的线性代数的几何概念的推广。当 B ( u , v ) = 0 {\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0} 时，具有双线性形式 B {\displaystyle B} 的向量空间的两个元素 u 和 v 是正交的。根据双线性形式，向量空间可能包含零向量、非零自正交向量，在这种情况下，垂直性被双曲正交性取代。在函数空间的情况下，函数族用于形成正交基，例如在正交多项式、正交函数和组合数学的背景下。
In mathematics, orthogonality is the generalization of the geometric notion of perpendicularity to linear algebra of bilinear forms. Two elements u and v of a vector space with bilinear form B {\displaystyle B} are orthogonal when B ( u , v ) = 0 {\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0} . Depending on the bilinear form, the vector space may contain null vectors, non-zero self-orthogonal vectors, in which case perpendicularity is replaced with hyperbolic orthogonality. In the case of function spaces, families of functions are used to form an orthogonal basis, such as in the contexts of orthogonal polynomials, orthogonal functions, and combinatorics.
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查看内容许可 ↗超完备性是线性代数中的一个概念，广泛应用于数学、计算机科学、工程和统计学（通常以超完备框架的形式）。它由 R. J. Duffin 和 A. C. Schaeffer 于 1952 年提出。形式上，如果 X {\displaystyle X} 中的每个元素都可以通过有限线性组合在范数内任意近似，则巴纳赫空间 X {\displaystyle X} 的向量 { phi i } i ∈ J {\displaystyle \{\phi _{i}\}_{i\in J}} 的子集（有时称为“系统”）是完备的{ phi i } i ∈ J {\displaystyle \{\phi _{i}\}_{i\in J}} 中的元素。
Overcompleteness is a concept from linear algebra that is widely used in mathematics, computer science, engineering, and statistics (usually in the form of overcomplete frames). It was introduced by R. J. Duffin and A. C. Schaeffer in 1952. Formally, a subset of the vectors { ϕ i } i ∈ J {\displaystyle \{\phi _{i}\}_{i\in J}} of a Banach space X {\displaystyle X} , sometimes called a "system", is complete if every element in X {\displaystyle X} can be approximated arbitrarily well in norm by finite linear combinations of elements in { ϕ i } i ∈ J {\displaystyle \{\phi _{i}\}_{i\in J}} .
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查看内容许可 ↗在数学中，如果方程组多于未知数，则方程组被认为是超定的。当用随机系数构建时，超定系统几乎总是不一致的（它没有解）。然而，超定系统在某些情况下会有解，例如，如果某个方程在系统中出现多次，或者如果某些方程是其他方程的线性组合。该术语可以用约束计数的概念来描述。每个未知数都可以被视为可用的自由度。引入系统的每个方程都可以被视为限制一个自由度的约束。因此，当方程数量和自由变量数量相等时，就会出现临界情况。对于每个给出自由度的变量，都存在相应的约束。
In mathematics, a system of equations is considered overdetermined if there are more equations than unknowns. An overdetermined system is almost always inconsistent (it has no solution) when constructed with random coefficients. However, an overdetermined system will have solutions in some cases, for example if some equation occurs several times in the system, or if some equations are linear combinations of the others. The terminology can be described in terms of the concept of constraint counting. Each unknown can be seen as an available degree of freedom. Each equation introduced into the system can be viewed as a constraint that restricts one degree of freedom. Therefore, the critical case occurs when the number of equations and the number of free variables are equal. For every variable giving a degree of freedom, there exists a corresponding constraint.
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查看内容许可 ↗在数学中，配对是来自两个 R 模的笛卡尔积的 R 双线性映射，其中底层环 R 是可交换的。
In mathematics, a pairing is an R-bilinear map from the Cartesian product of two R-modules, where the underlying ring R is commutative.
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查看内容许可 ↗在线性代数和泛函分析中，部分迹是迹的推广。迹是运算符上的标量值函数，而部分迹是运算符值函数。部分迹在量子信息和退相干中具有应用，这与量子测量相关，从而与解释量子力学的退相干方法相关，包括一致的历史和相对状态解释。
In linear algebra and functional analysis, the partial trace is a generalization of the trace. Whereas the trace is a scalar-valued function on operators, the partial trace is an operator-valued function. The partial trace has applications in quantum information and decoherence which is relevant for quantum measurement and thereby to the decoherent approaches to interpretations of quantum mechanics, including consistent histories and the relative state interpretation.
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查看内容许可 ↗在数学中，以 Jaak Peetre 命名的 Peetre 不等式表示，对于任何实数 t {\displaystyle t} 以及 R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} 中的任何向量 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y}，以下不等式成立： ( 1 + | x | 2 1 + | y...
In mathematics, Peetre's inequality, named after Jaak Peetre, says that for any real number t {\displaystyle t} and any vectors x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} in R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} the following inequality holds: ( 1 + | x | 2 1 + | y...
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查看内容许可 ↗在线性代数中，如果存在一个 n × 1 {\displaystyle n\times 1} 非负列矩阵 P {\displaystyle P} 例如 P − A P {\displaystyle P-AP} 是一个正矩阵，则 n 阶的非负方阵 A {\displaystyle A} 被认为是有效的，或者是 Leontief 矩阵。
In linear algebra, a square nonnegative matrix A {\displaystyle A} of order n {\displaystyle n} is said to be productive, or to be a Leontief matrix, if there exists a n × 1 {\displaystyle n\times 1} nonnegative column matrix P {\displaystyle P} such as P − A P {\displaystyle P-AP} is a positive matrix.
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查看内容许可 ↗在数学中，投影化是将非零向量空间 V 与投影空间 P(V) 相关联的过程，其元素是 V 的一维子空间。更一般地，V 的任何在标量乘法下闭合的子集 S 定义由 S 中包含的线形成的 P(V) 子集，称为 S 的投影化。
In mathematics, projectivization is a procedure which associates with a non-zero vector space V a projective space P(V), whose elements are one-dimensional subspaces of V. More generally, any subset S of V closed under scalar multiplication defines a subset of P(V) formed by the lines contained in S and is called the projectivization of S.
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查看内容许可 ↗在纯数学和应用数学中，特别是量子力学和计算机图形学及其应用中，球基是用于表达球张量的基础。球基与量子力学和球谐函数中角动量的描述密切相关。球极坐标是一种使用极角、方位角和径向距离来表达向量和张量的正交坐标系，而球基是根据标准基构建的，并使用复数。
In pure and applied mathematics, particularly quantum mechanics and computer graphics and their applications, a spherical basis is the basis used to express spherical tensors. The spherical basis closely relates to the description of angular momentum in quantum mechanics and spherical harmonic functions. While spherical polar coordinates are one orthogonal coordinate system for expressing vectors and tensors using polar and azimuthal angles and radial distance, the spherical basis are constructed from the standard basis and use complex numbers.
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查看内容许可 ↗在数学中，更准确地说在泛函分析中，Aluthge 变换是在希尔伯特空间的有界算子集合上定义的运算。它是由 Ariyadasa Aluthge 提出来研究 p-次正规线性算子。
In mathematics and more precisely in functional analysis, the Aluthge transformation is an operation defined on the set of bounded operators of a Hilbert space. It was introduced by Ariyadasa Aluthge to study p-hyponormal linear operators.
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查看内容许可 ↗在拓扑学的数学学科中，环境同位素，也称为 h 同位素，是环境空间（例如流形）的一种连续变形，将一个子流形带到另一个子流形。例如，在结理论中，如果一个结可以扭曲成另一个结而不破坏它，则认为两个结是相同的。这种畸变是环境同位素的一个例子。更准确地说，令 N {\displaystyle N} 和 M {\displaystyle M} 为流形，g {\displaystyle g} 和 h {\displaystyle h} 为 N {\displaystyle N} 在 M {\displaystyle M} 中的嵌入。
In the mathematical subject of topology, an ambient isotopy, also called an h-isotopy, is a kind of continuous distortion of an ambient space, for example a manifold, taking a submanifold to another submanifold. For example in knot theory, one considers two knots the same if one can distort one knot into the other without breaking it. Such a distortion is an example of an ambient isotopy. More precisely, let N {\displaystyle N} and M {\displaystyle M} be manifolds and g {\displaystyle g} and h {\displaystyle h} be embeddings of N {\displaystyle N} in M {\displaystyle M} .
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维基百科条目作者 · 获取于 2026-10-04 · CC BY-SA 4.0。简介经过纯文本提取与截取；两个语言版本的内容侧重可能不同。用于概念速查，不替代标准原文。 本条中文为英文百科简介的机器辅助翻译，请结合英文原文核对专业术语。
查看内容许可 ↗在数学中，特别是在几何和拓扑中，环境空间是围绕数学对象及其本身的空间。
In mathematics, especially in geometry and topology, an ambient space is the space surrounding a mathematical object along with the object itself.
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