量子科学Matter wave clock物质波时钟是一种时钟，其工作原理利用了物质的表观波动特性。物质波首先由路易斯·德布罗意提出，有时也称为德布罗意波。它们构成了波粒二象性的一个关键方面，实验已经支持了这个想法。与给定质量的粒子（例如原子）相关的波具有定义的频率，以及一个周期从一个峰值到另一个峰值的持续时间的变化，有时称为康普顿周期。这种物质波具有简单时钟的特征，因为它标记出固定且相等的时间间隔。阿尔伯特·爱因斯坦相对论中产生的双胞胎悖论意味着运动粒子与静止粒子的周期略有不同。比较两个这样的粒子可以构建一个实用的“康普顿时钟”。
A matter wave clock is a type of clock whose principle of operation makes use of the apparent wavelike properties of matter. Matter waves were first proposed by Louis de Broglie and are sometimes called de Broglie waves. They form a key aspect of wave–particle duality and experiments have since supported the idea. The wave associated with a particle of a given mass, such as an atom, has a defined frequency, and a change in the duration of one cycle from peak to peak that is sometimes called its Compton periodicity. Such a matter wave has the characteristics of a simple clock, in that it marks out fixed and equal intervals of time. The twins paradox arising from Albert Einstein's theory of relativity means that a moving particle will have a slightly different period from a stationary particle. Comparing two such particles allows the construction of a practical "Compton clock".
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查看内容许可 ↗最大熵随机游走（MERW）是图上一种流行的有偏随机游走类型，其中根据最大熵原理选择转移概率，最大熵原理表示最能代表当前知识状态的概率分布是具有最大熵的概率分布。标准随机游走为每个顶点采样传出边缘的均匀概率分布，局部最大化熵率，而 MERW 通过采样给定图中所有路径之间的均匀概率分布来全局最大化熵率（平均熵产生）。 MERW 用于各个科学领域。一个直接的应用是选择概率以最大化通过受限信道的传输速率，类似于斐波那契编码。
A maximal entropy random walk (MERW) is a popular type of biased random walk on a graph, in which transition probabilities are chosen accordingly to the principle of maximum entropy, which says that the probability distribution which best represents the current state of knowledge is the one with largest entropy. While a standard random walk samples for every vertex a uniform probability distribution of outgoing edges, locally maximizing entropy rate, MERW maximizes it globally (average entropy production) by sampling a uniform probability distribution among all paths in a given graph. MERW is used in various fields of science. A direct application is choosing probabilities to maximize transmission rate through a constrained channel, analogously to Fibonacci coding.
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查看内容许可 ↗麦克斯韦-布洛赫方程，也称为光学布洛赫方程，描述了与光学谐振器的电磁模式相互作用的二态量子系统的动力学。他们的第一个公式是由 Tito Arecchi 和 Rodolfo Bonifacio 提出的。它们类似于（但完全不等同）描述电磁场中核磁矩运动的布洛赫方程。当进行某些近似时，可以半经典地或用完全量化的场来推导出这些方程。
The Maxwell–Bloch equations, also called the optical Bloch equations describe the dynamics of a two-state quantum system interacting with the electromagnetic mode of an optical resonator. Their first formulation was due to Tito Arecchi and Rodolfo Bonifacio. They are analogous to (but not at all equivalent to) the Bloch equations which describe the motion of the nuclear magnetic moment in an electromagnetic field. The equations can be derived either semiclassically or with the field fully quantized when certain approximations are made.
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查看内容许可 ↗Merli-Missiroli-Pozzi 实验是 1974 年进行的一项物理实验，首次提供了涉及单电子检测的电子干涉的确凿证据。该实验由博洛尼亚大学和意大利研究委员会 (CNR) 的意大利物理学家 Pier Giorgio Merli、Gian Franco Missiroli 和 Giulio Pozzi 进行，在物理上类似于理查德·费曼 (Richard Feynman) 在 1961 年描述的思想实验中的电子双缝实验。《物理世界》在 2002 年进行的一项科普民意调查将单电子双缝实验评选为有史以来“物理学中最美丽的实验”，但直到当年晚些时候进行的后续历史研究才充分了解该实验的历史。
The Merli–Missiroli–Pozzi experiment was a physics experiment conducted in 1974 that provided the first conclusive evidence of electron interference involving the detection of single electrons. Performed by Italian physicists Pier Giorgio Merli, Gian Franco Missiroli, and Giulio Pozzi at the University of Bologna and the Italian Research Council (CNR), the experiment is physically similar to a double-slit experiment with electrons described as a thought experiment by Richard Feynman in 1961. A popular science poll conducted by Physics World in 2002 selected the single-electron double-slit experiment as the "most beautiful experiment in physics" of all time but the history of the experiment was not well understood until subsequent historical research later that year.
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查看内容许可 ↗连分数法是专门为求解量子散射理论积分方程（如李普曼-施温格方程或法捷耶夫方程）而开发的方法。它是由 Horáček 和 Sasakawa 于 1983 年发明的。该方法的目标是求解积分方程 | ψ ⟩ = | ψ ⟩ + G 0 V | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}V|\psi \rangle } 迭代并构造 T 矩阵的收敛连分数 T = ⟨ phi | V | ψ ⟩ 。 {\displaystyle T=\langle \phi |V|\psi \rangle .} 该方法有两种变体。
The method of continued fractions is a method developed specifically for solution of integral equations of quantum scattering theory like Lippmann–Schwinger equation or Faddeev equations. It was invented by Horáček and Sasakawa in 1983. The goal of the method is to solve the integral equation | ψ ⟩ = | ϕ ⟩ + G 0 V | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}V|\psi \rangle } iteratively and to construct convergent continued fraction for the T-matrix T = ⟨ ϕ | V | ψ ⟩ . {\displaystyle T=\langle \phi |V|\psi \rangle .} The method has two variants.
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查看内容许可 ↗在粒子物理学和量子力学中，混合角是两组（复值）正交基向量或状态之间的角度，通常是两个量子力学算子的特征基。角度的选择（参数化）不是唯一的，而是基于惯例。
In particle physics and quantum mechanics, mixing angles are the angles between two sets of (complex-valued) orthogonal basis vectors, or states, usually the eigenbases of two quantum mechanical operators. The choice of angles (parameterization) is not unique but based on convention.
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查看内容许可 ↗多重散射理论 (MST) 是一种数学形式，用于描述波通过散射体集合的传播。例如穿过多孔介质的声波、云中水滴的光散射或晶体散射的 X 射线。最近的一个应用是量子物质波（如电子或中子）在固体中的传播。正如 Jan Korringa 所指出的，这一理论的起源可以追溯到雷利勋爵 1892 年的一篇论文。保罗·彼得·埃瓦尔德对该理论做了一个重要的数学表述。科林加和埃瓦尔德承认尼古拉·卡斯特林 1903 年的博士论文对他们的工作产生了影响，该论文的部分内容在 Heike Kamerlingh Onnes 的赞助下在阿姆斯特丹皇家科学院院刊上以德文发表。
Multiple scattering theory (MST) is the mathematical formalism that is used to describe the propagation of a wave through a collection of scatterers. Examples are acoustical waves traveling through porous media, light scattering from water droplets in a cloud, or x-rays scattering from a crystal. A more recent application is to the propagation of quantum matter waves like electrons or neutrons through a solid. As pointed out by Jan Korringa, the origin of this theory can be traced back to an 1892 paper by Lord Rayleigh. An important mathematical formulation of the theory was made by Paul Peter Ewald. Korringa and Ewald acknowledged the influence on their work of the 1903 doctoral dissertation of Nikolai Kasterin, portions of which were published in German in the Proceedings of the Royal Academy of Sciences in Amsterdam under the sponsorship of Heike Kamerlingh Onnes.
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查看内容许可 ↗在物理学中，特别是在粒子物理学中，多重态是粒子“内部”自由度的状态空间；也就是说，与粒子本身相关的自由度，而不是“外部”自由度，例如粒子在空间中的位置。这种自由度的例子是量子力学中粒子的自旋状态，或者粒子物理标准模型中粒子的颜色、同位旋和超荷状态。形式上，我们用一个向量空间来描述这个状态空间，该向量空间承载一组连续对称性的作用。
In physics and particularly in particle physics, a multiplet is the state space for 'internal' degrees of freedom of a particle; that is, degrees of freedom associated to a particle itself, as opposed to 'external' degrees of freedom such as the particle's position in space. Examples of such degrees of freedom are the spin state of a particle in quantum mechanics, or the color, isospin and hypercharge state of particles in the Standard Model of particle physics. Formally, we describe this state space by a vector space which carries the action of a group of continuous symmetries.
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查看内容许可 ↗势能面 (PES) 或能量图根据某些参数（通常是原子的位置）描述系统的能量，尤其是原子的集合。表面可以将能量定义为一个或多个坐标的函数；如果只有一个坐标，则该曲面称为势能曲线或能量剖面。一个例子是莫尔斯电势/远程电势。使用景观的类比是有帮助的：对于具有两个自由度（例如两个键长）的系统，能量值（类比：土地的高度）是两个键长的函数（类比：地面上位置的坐标）。 PES 概念在物理、化学和生物化学等领域都有应用，特别是在这些学科的理论分支中。
A potential energy surface (PES) or energy landscape describes the energy of a system, especially a collection of atoms, in terms of certain parameters, normally the positions of the atoms. The surface might define the energy as a function of one or more coordinates; if there is only one coordinate, the surface is called a potential energy curve or energy profile. An example is the Morse/Long-range potential. It is helpful to use the analogy of a landscape: for a system with two degrees of freedom (e.g. two bond lengths), the value of the energy (analogy: the height of the land) is a function of two bond lengths (analogy: the coordinates of the position on the ground). The PES concept finds application in fields such as physics, chemistry and biochemistry, especially in the theoretical sub-branches of these subjects.
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查看内容许可 ↗量子浓度 nQ 是粒子间距离等于热德布罗意波长的系统的粒子浓度（即每单位体积的粒子数）。
The quantum concentration nQ is the particle concentration (i.e. the number of particles per unit volume) of a system where the interparticle distance is equal to the thermal de Broglie wavelength.
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查看内容许可 ↗量子热力学 是指关于热力学和量子力学这两门相互独立的物理理论间的关系的研究领域。热力学和量子力学都讨论有关光和物质的物理现象。 1905 年，阿尔伯特·爱因斯坦提出，热力学和电磁学之间应该保持一致，由此得出了光的量子化理论，给出了 E = h ν {\displaystyle E=h\nu } 的关系；该论文是量子理论的曙光。几十年过去，量子理论已经建立在另一套独立的规则之上。 而目前，量子热力学解决了热力学定律怎样从量子力学中导出的。相比于量子统计力学，量子热力学强调从平衡态脱离的动态过程，并且试图建立能使量子热力学适用于单个量子系统的理论。
Quantum thermodynamics is the study of the relations between two independent physical theories: thermodynamics and quantum mechanics. The two independent theories address the physical phenomena of light and matter. In 1905, Albert Einstein argued that the requirement of consistency between thermodynamics and electromagnetism leads to the conclusion that light is quantized, obtaining the relation E = h ν {\displaystyle E=h\nu } . This paper is the dawn of quantum theory. In a few decades quantum theory became established with an independent set of rules. Currently quantum thermodynamics addresses the emergence of thermodynamic laws from quantum mechanics. It differs from quantum statistical mechanics in the emphasis on dynamical processes out of equilibrium. In addition, there is a quest for the theory to be relevant for a single individual quantum system.
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查看内容许可 ↗量子拓扑（英语：Quantum topology）是连接量子力学与低维拓扑的数学分支。 狄拉克符号给出了量子力学的一种观点，被推广成为可以包含拓扑空间相关振幅和空间之间的相关嵌入的框架，例如三维空间中的结和结组。狄拉克符号对右矢和左矢的表示，可以被泛化成映射，表示与允许张量积的拓扑空间有关的向量空间。 涉及结组和辫群的拓扑拓扑纠缠也可以直观地与量子纠缠连接起来。
Quantum topology is a branch of mathematics that connects quantum mechanics with low-dimensional topology. Dirac notation provides a viewpoint of quantum mechanics which becomes amplified into a framework that can embrace the amplitudes associated with topological spaces and the related embedding of one space within another such as knots and links in three-dimensional space. This bra–ket notation of kets and bras can be generalised, becoming maps of vector spaces associated with topological spaces that allow tensor products. Topological entanglement involving linking and braiding can be intuitively related to quantum entanglement.
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查看内容许可 ↗逆因果关系或向后因果关系是因果关系的概念，其中结果在时间上先于其原因，因此较晚的事件会影响较早的事件。在量子物理学中，因果关系并没有在最基本的层面上进行区分，因此时间对称系统可以被视为因果或逆因果系统。时间旅行的哲学思考通常涉及与逆因果关系相同的问题，就像小说中对主题的处理一样，但这两种现象是截然不同的。
Retrocausality, or backwards causation, is a concept of cause and effect in which an effect precedes its cause in time and so a later event affects an earlier one. In quantum physics, the distinction between cause and effect is not made at the most fundamental level and so time-symmetric systems can be viewed as causal or retrocausal. Philosophical considerations of time travel often address the same issues as retrocausality, as do treatments of the subject in fiction, but the two phenomena are distinct.
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查看内容许可 ↗在量子物理学中，散射振幅是指在稳态散射过程中，出射球面波相对于入射平面波的概率振幅。
In quantum physics, the scattering amplitude is the probability amplitude of the outgoing spherical wave relative to the incoming plane wave in a stationary-state scattering process.
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查看内容许可 ↗在物理学中，散射率描述了粒子束穿过材料时被散射的速率。它表示每单位时间粒子因相互作用（例如与晶格中的杂质或声子）而偏离其原始轨迹的概率。散射率通常用 w {\displaystyle w} 或 Γ {\displaystyle \Gamma } 表示，是固态物理学和凝聚态物理学中的一个关键概念，因为它决定了各种材料特性，包括电导率和热导率。
In physics, the scattering rate describes the rate at which a beam of particles is scattered while passing through a material. It represents the probability per unit time that a particle will be deflected from its original trajectory by an interaction, such as with impurities or phonons in a crystal lattice. The scattering rate, often denoted by w {\displaystyle w} or Γ {\displaystyle \Gamma } , is a crucial concept in solid-state physics and condensed matter physics, as it determines various material properties, including electrical conductivity and thermal conductivity.
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查看内容许可 ↗在量子力学中，施里弗-沃尔夫变换是一种酉变换，用于通过解耦弱相互作用子空间来确定有效（通常是低能量）哈密顿量。使用扰动方法，可以构建变换，使得两个子空间之间的相互作用消失到扰动中所需的阶数。该变换还将相互作用中的系统哈密顿量对角化为一阶。在此，施里弗-沃尔夫变换是二阶微扰理论的算子版本。施里弗-沃尔夫变换通常用于投影给定量子多体哈密顿量的高能激发，以获得有效的低能模型。
In quantum mechanics, the Schrieffer–Wolff transformation is a unitary transformation used to determine an effective (often low-energy) Hamiltonian by decoupling weakly interacting subspaces. Using a perturbative approach, the transformation can be constructed such that the interaction between the two subspaces vanishes up to the desired order in the perturbation. The transformation also perturbatively diagonalizes the system Hamiltonian to first order in the interaction. In this, the Schrieffer–Wolff transformation is an operator version of second-order perturbation theory. The Schrieffer–Wolff transformation is often used to project out the high energy excitations of a given quantum many-body Hamiltonian in order to obtain an effective low energy model.
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查看内容许可 ↗在量子力学中，施温格玻色子表示将量子自旋映射到玻色子场。该理论由 Julian Schwinger 于 1952 年提出。该方法是更一般的 Jordan-Schwinger 映射的特例。与仅使用单个玻色子场的荷斯坦-普里马科夫变换相反，施温格玻色子理论使用两个玻色子场。这种表示的优点是避免了 Holstein-Primakoff 变换的复杂平方根项。施温格玻色子表示通常用于处理平衡和非平衡条件下的铁磁、反铁磁和受抑自旋系统。该表示还用于描述量子光学中原子系综的状态。
In quantum mechanics, the Schwinger boson representation maps quantum spin to bosonic fields. The theory was introduced by Julian Schwinger in 1952. The method is a special case for the more general Jordan–Schwinger map. As opposed to the Holstein–Primakoff transformation, which only uses a single bosonic field the Schwinger boson theory uses two. The advantage of this representation is that the complicated square root terms of the Holstein–Primakoff transformation are avoided. The Schwinger boson representation is often used to treat ferromagnetic, antiferromagnetic and frustrated spin systems in equilibrium and non-equilibrium conditions The representation is also used to describe states of atomic ensembles in quantum optics.
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查看内容许可 ↗剪刀模式是集体激励，其中两个粒子系统相对于彼此移动并保持其形状。 N. LoIudice 和 F. Palumbo 首次预测它们会出现在变形原子核中，他们使用了半经典双转子模型，其解决方案需要实现数学中未知的 O(4) 代数。在该模型中，假设质子和中子形成两个相互作用的转子，以剪刀的刀片来识别。它们的相对运动（图 1）产生磁偶极矩，其与电磁场的耦合提供了模式的特征。 A. Richter 及其合作者首次在稀土原子核 156Gd 中实验观察到了这种状态，然后在所有变形原子核中进行了系统的实验和理论研究。受此启发，D.
Scissors Modes are collective excitations in which two particle systems move with respect to each other conserving their shape. For the first time they were predicted to occur in deformed atomic nuclei by N. LoIudice and F. Palumbo, who used a semiclassical Two Rotor Model, whose solution required a realization of the O(4) algebra that was not known in mathematics. In this model protons and neutrons were assumed to form two interacting rotors to be identified with the blades of scissors. Their relative motion (Fig.1) generates a magnetic dipole moment whose coupling with the electromagnetic field provides the signature of the mode. Such states have been experimentally observed for the first time by A. Richter and collaborators in a rare earth nucleus, 156Gd, and then systematically investigated experimentally and theoretically in all deformed atomic nuclei. Inspired by this, D.
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In condensed matter physics, second sound is a quantum mechanical phenomenon in which heat transfer occurs by wave-like motion, rather than by the more usual mechanism of diffusion. Its presence leads to a very high thermal conductivity. It is known as "second sound" because the wave motion of entropy and temperature is similar to the propagation of pressure waves in air (sound). The phenomenon of second sound was first described by Lev Landau in 1941.
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查看内容许可 ↗在数学中，Segal-Bargmann 空间（Irving Segal 和 Valentine Bargmann）也称为 Bargmann 空间或 Bargmann-Fock 空间，是满足平方可积条件的 n 个复变量中的全纯函数 F 的空间： ‖ F ‖ 2 := π − n ∫ C n | F ( z ) | 2 exp ( − | z | 2 ) d z < ∞ , {\displaystyle \|F\|^{2}:=\pi ^{-n}\int _{\mathbb {C} ^{n}}|F(z)|...
In mathematics, the Segal–Bargmann space (for Irving Segal and Valentine Bargmann), also known as the Bargmann space or Bargmann–Fock space, is the space of holomorphic functions F in n complex variables satisfying the square-integrability condition: ‖ F ‖ 2 := π − n ∫ C n | F ( z ) | 2 exp ( − | z | 2 ) d z < ∞ , {\displaystyle \|F\|^{2}:=\pi ^{-n}\int _{\mathbb {C} ^{n}}|F(z)|...
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In physics, the semiclassical approximation divides a system into two parts, one to be described quantum-mechanically, and the other to be treated classically. In general, it incorporates a series expansion in powers of the Planck constant, resulting in classical physics in the power of 0, and the first nontrivial approximation to the power of (−1). In this case, there is a clear link between the quantum-mechanical system and the associated semiclassical and classical approximations, as it is similar in appearance to the transition from physical optics to geometric optics.
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查看内容许可 ↗半导体布洛赫方程（缩写为 SBE）描述了由相干经典光源（例如激光）激发的半导体的光学响应。它们基于完整的量子理论，并形成一组封闭的积分微分方程，用于微观偏振和载流子分布的量子动力学。 SBE 是以与光学布洛赫方程的结构类比命名的，该方程描述了与经典电磁场相互作用的两能级原子中的激发动力学。作为原子方法之外的主要复杂问题，SBE 必须解决由电荷之间的库仑力以及晶格振动和电子之间的耦合引起的多体相互作用。
The semiconductor Bloch equations (abbreviated as SBEs) describe the optical response of semiconductors excited by coherent classical light sources, such as lasers. They are based on a full quantum theory, and form a closed set of integro-differential equations for the quantum dynamics of microscopic polarization and charge carrier distribution. The SBEs are named after the structural analogy to the optical Bloch equations that describe the excitation dynamics in a two-level atom interacting with a classical electromagnetic field. As the major complication beyond the atomic approach, the SBEs must address the many-body interactions resulting from Coulomb force among charges and the coupling among lattice vibrations and electrons.
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查看内容许可 ↗绝热捷径 (STA) 是一种快速控制协议，可在不依赖绝热定理的情况下驱动系统动力学。 Xi Chen等人在2010年的一篇论文中引入了STA的概念。他们的设计可以使用多种技术来实现。反绝热驱动（也称为无过渡量子驱动）提供了一种通用方法。受一位作者对耗散朗道-齐纳转变的系统研究的启发，来自中国、希腊和美国的一组科学家于 2000 年早些时候证明了这一关键思想，即引导本征态到达目的地。反非线性驱动已在实验室中使用依赖于时间的量子振荡器进行了演示。使用反非绝热驱动需要对系统哈密顿量进行对角化，限制了其在多粒子系统中的使用。
Shortcuts to adiabaticity (STA) are fast control protocols to drive the dynamics of system without relying on the adiabatic theorem. The concept of STA was introduced in a 2010 paper by Xi Chen et al. Their design can be achieved using a variety of techniques. A universal approach is provided by counterdiabatic driving, also known as transitionless quantum driving. Motivated by one of authors systematic study of dissipative Landau-Zener transition, the key idea was demonstrated earlier by a group of scientists from China, Greece and USA in 2000, as steering an eigenstate to destination. Counterdiabatic driving has been demonstrated in the laboratory using a time-dependent quantum oscillator. The use of counterdiabatic driving requires to diagonalize the system Hamiltonian, limiting its use in many-particle systems.
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查看内容许可 ↗单线态裂变是分子光物理学中的一种自旋过程，可将一个单线态激发态转换为两个三线态。它发生在分子晶体、聚集体、无序薄膜和共价连接的二聚体中，其中发色团排列以增强单线态和双三线态之间的电子耦合。该过程比光发射更快（皮秒或飞秒与纳秒），通过击败较慢的衰减途径来实现高效率。与系间交叉不同，单线态裂变避免了自旋翻转，将两个三线态耦合成一个整体单线态。它可以提高有机光伏发电中太阳能电池的效率。 2025 年，研究人员将稳定的单线态裂变分子与硅集成，通过每个高能光子产生两个电子空穴对，可能将太阳能电池的效率提高 10% 以上。
Singlet fission is a spin-allowed process in molecular photophysics that converts one singlet excited state into two triplet states. It occurs in molecular crystals, aggregates, disordered thin films, and covalently linked dimers, where chromophores align to enhance electronic coupling between the singlet and double triplet states. The process, faster than light emission (picoseconds or femtoseconds versus nanoseconds), achieves high efficiency by outcompeting slower decay pathways. Unlike intersystem crossing, singlet fission avoids spin flipping, coupling two triplets into an overall singlet. It could boost solar cell efficiencies in organic photovoltaics. In 2025, researchers integrated stable singlet fission molecules with silicon, potentially increasing solar cell efficiency by over 10% by generating two electron-hole pairs per high-energy photon.
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查看内容许可 ↗在量子力学中，斯莱特行列式是描述多费米子系统波函数的表达式。它通过交换两个费米子时改变符号来满足反对称性要求，从而满足泡利原理。所有可能的多体费米子波函数中只有一小部分可以写成单个斯莱特行列式，但由于其简单性，它们形成了一个重要且有用的子集。斯莱特行列式源于对电子集合波函数的考虑，每个电子都有一个称为自旋轨道 χ ( x ) {\displaystyle \chi (\mathbf {x} )} 的波函数，其中 x {\displaystyle \mathbf {x} } 表示单个电子的位置和自旋。包含两个具有相同自旋轨道的电子的斯莱特行列式将对应于处处为零的波函数。
In quantum mechanics, a Slater determinant is an expression that describes the wave function of a multi-fermionic system. It satisfies anti-symmetry requirements, and consequently the Pauli principle, by changing sign upon exchange of two fermions. Only a small subset of all possible many-body fermionic wave functions can be written as a single Slater determinant, but those form an important and useful subset because of their simplicity. The Slater determinant arises from the consideration of a wave function for a collection of electrons, each with a wave function known as the spin-orbital χ ( x ) {\displaystyle \chi (\mathbf {x} )} , where x {\displaystyle \mathbf {x} } denotes the position and spin of a single electron. A Slater determinant containing two electrons with the same spin orbital would correspond to a wave function that is zero everywhere.
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查看内容许可 ↗索末菲-科塞尔位移定律指出，元素的第一个火花（单电离）光谱在所有细节上都与元素周期表中其前面的元素的弧（中性）光谱相似。同样，元素的第二个（双电离）火花光谱在所有细节上都与它前面的元素的第一个（单电离）火花光谱相似，或者与原子序数少两个的元素的电弧（中性）光谱相似，依此类推。因此，C I（中性碳）、N II（单电离氮）和 O III（双电离氧）原子的光谱相似，除了光谱向更短波长移动之外。
The Sommerfeld–Kossel displacement law states that the first spark (singly ionized) spectrum of an element is similar in all details to the arc (neutral) spectrum of the element preceding it in the periodic table. Likewise, the second (doubly ionized) spark spectrum of an element is similar in all details to the first (singly ionized) spark spectrum of the element preceding it, or to the arc (neutral) spectrum of the element with atomic number two less, and so forth. Hence, the spectra of C I (neutral carbon), N II (singly ionized nitrogen), and O III (doubly ionized oxygen) atoms are similar, apart from shifts of the spectra to shorter wavelengths.
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查看内容许可 ↗在量子力学中，系统的光谱间隙是其基态和第一激发态之间的能量差。质量间隙是真空和最轻粒子之间的光谱间隙。具有谱间隙的哈密顿量称为有间隙哈密顿量，而没有谱间隙的哈密顿量称为无间隙。在固态物理学中，最重要的光谱间隙是固体材料中电子的多体系统，在这种情况下，它通常被称为能隙。在量子多体系统中，有隙哈密顿量的基态具有指数衰减的相关性。 2015年，研究表明，确定光谱间隙是否存在的问题在二维或更多维度上是不可判定的。作者使用了量子图灵机的非周期平铺，并表明当且仅当机器停止时，这种假设材料才会出现间隙。
In quantum mechanics, the spectral gap of a system is the energy difference between its ground state and its first excited state. The mass gap is the spectral gap between the vacuum and the lightest particle. A Hamiltonian with a spectral gap is called a gapped Hamiltonian, and those that do not are called gapless. In solid-state physics, the most important spectral gap is for the many-body system of electrons in a solid material, in which case it is often known as an energy gap. In quantum many-body systems, ground states of gapped Hamiltonians have exponential decay of correlations. In 2015, it was shown that the problem of determining the existence of a spectral gap is undecidable in two or more dimensions. The authors used an aperiodic tiling of quantum Turing machines and showed that this hypothetical material becomes gapped if and only if the machine halts.
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查看内容许可 ↗在纯数学和应用数学中，特别是量子力学和计算机图形学及其应用中，球基是用于表达球张量的基础。球基与量子力学和球谐函数中角动量的描述密切相关。球极坐标是一种使用极角、方位角和径向距离来表达向量和张量的正交坐标系，而球基是根据标准基构建的，并使用复数。
In pure and applied mathematics, particularly quantum mechanics and computer graphics and their applications, a spherical basis is the basis used to express spherical tensors. The spherical basis closely relates to the description of angular momentum in quantum mechanics and spherical harmonic functions. While spherical polar coordinates are one orthogonal coordinate system for expressing vectors and tensors using polar and azimuthal angles and radial distance, the spherical basis are constructed from the standard basis and use complex numbers.
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查看内容许可 ↗在磁共振中，自旋回波或哈恩回波是谐振电磁辐射脉冲对自旋磁化的重新聚焦。现代核磁共振（NMR）和磁共振成像（MRI）利用了这种效应。由于自旋弛豫和导致样品中的自旋以不同速率进动的任何不均匀效应，在初始激发脉冲后观察到的 NMR 信号随时间衰减。第一个是弛豫，会导致不可逆的磁化强度损失。但是，可以通过施加反转磁化矢量的 180° 反转脉冲来消除不均匀相移。不均匀效应的例子包括磁场梯度和化学位移的分布。如果在移相周期 t 之后施加反转脉冲，则非均匀演化将重新定相以在时间 2t 处形成回波。
In magnetic resonance, a spin echo or Hahn echo is the refocusing of spin magnetisation by a pulse of resonant electromagnetic radiation. Modern nuclear magnetic resonance (NMR) and magnetic resonance imaging (MRI) make use of this effect. The NMR signal observed following an initial excitation pulse decays with time due to both spin relaxation and any inhomogeneous effects which cause spins in the sample to precess at different rates. The first of these, relaxation, leads to an irreversible loss of magnetisation. But the inhomogeneous dephasing can be removed by applying a 180° inversion pulse that inverts the magnetisation vectors. Examples of inhomogeneous effects include a magnetic field gradient and a distribution of chemical shifts. If the inversion pulse is applied after a period t of dephasing, the inhomogeneous evolution will rephase to form an echo at time 2t.
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查看内容许可 ↗超冷原子是将原子保持在一个极低温的状态（接近绝对零度，0K），一般来说其典型温度在百纳开左右。在这样的低温状态下，原子的量子力学性质变得十分重要。要到达如此低的温度，则需要好几种技术的配合使用。首先将原子囚禁于磁光阱中，并用激光冷却预冷。一般也需要再利用蒸发制冷，以达到更低的温度。最近，麻省理工学院也有通过激光冷却直接达到量子简并物态的研究成果报导。 当原子被降到足够低的温度时，他们将会处于一种新的量子物态。对于玻色型原子气会产生玻色-爱因斯坦凝聚；对于费米型原子气，则形成简并费米气。由于原子间存在相互作用，实际上绝大多数原子在低温下的基态是形成固体（除了He3和He4，由于较大的零点能，常压下始终为液体），因此这类原子气实际上处于亚稳态。但是当原子气足够稀薄，碰撞概率足够小，这种亚稳态可以比较长时间的存在。无论是费米子还是玻色子，如果原子间相互为吸引作用，上述原子气所描述的状态将会失稳而塌缩。对于费米型气体，某种原子间的吸引作用可能形成类似超导当中的库伯（Cooper）对，而形成新的基态。 实验上，冷原子被用于研究玻色-爱因斯坦凝聚（BEC），超流，量子磁性，多体系统，BCS机制，BCS-BEC连续过渡等，对理解量子相变有重要意义。冷原子也被用于研究人工合成规范场，使得人们可以在实验室中模拟规范场，从而在凝聚态体系中辅助验证粒子物理的理论（而不需要巨大的加速器）。冷原子可以被精确的操控，可以用于研究量子信息学，冷原子系统是实现量子计算的众多方案中非常有前景的之一。
In condensed matter physics, ultracold atoms are atomic gases with a temperature near absolute zero. At such temperatures, the atoms quantum-mechanical properties become important, especially through what is known as superfluidity, a phenomenon also displayed by Superfluid Helium 4. To reach such low temperatures, a combination of several techniques typically has to be used. First, atoms are trapped and pre-cooled via laser cooling in a magneto-optical trap. To reach the lowest possible temperature, further cooling is performed using evaporative cooling in a magnetic or optical trap. Several Nobel prizes in physics are related to the development of the techniques to manipulate quantum properties of individual atoms (e.g. 1989, 1996, 1997, 2001, 2005, 2012, 2018).
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